Operações com Conjuntos

1.1 Intersecção

Define-se intersecção de dois conjuntos A e B quaisquer o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. A intersecção de A e B é representada por A ∩ B.


Exemplo:

A = {a; b; f}

B = {a; b; c; d; e}

A ∩ B = {a; b}

De modo geral temos:

A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B}

Lê-se: A intersecção B é o conjunto dos elementos x tal que x pertence a A e x pertence a B.

Em casos onde tivermos dois conjuntos A e B que não têm qualquer elemento comum, eles são chamados conjuntos disjuntos. Neste caso A ∩ B = ∅.

Exemplo: 

                                     A = { x | x é ímpar}                              B = { x | x é par}

Neste caso como A ∩ B = ∅, pois não existe número que seja par e ímpar simultaneamente os conjuntos A e B são denominados disjuntos.

Obs: Se consideramos qualquer conjunto A e o conjunto vazio ∅ temos que:

A ∩ ∅ = ∅, (∀A).

1.2 União

Na união entre dois (ou mais) conjuntos reunimos os elementos dos conjuntos dados em um único conjunto.  Simbolicamente:

A∪B={ x |  x ∈ A ou x ∈ B}

Número de Elementos da União de Dois Conjuntos

O número de elementos da união de dois conjuntos é igual a soma do número de elementos de cada um destes conjuntos subtraído do número de elementos da intersecção. Simbolicamente temos:

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

Exemplo

Dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5} e B = {4; 5; 6; 7; 8} determine o número de elementos de A∪B.

Solução:

Sabemos que:

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

Do nosso exemplo temos:

n(A) = 5;

n(B) = 5;

n(A∩B) = 2;

Desse modo: n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) = 5 + 5 - 2 = 8 elementos.

Resposta: A∪B possui 8 elementos.

1.3 Diferença entre Conjuntos

Na diferença entre dois conjuntos tomamos os elementos pertencentes ao primeiro conjunto e não pertencentes ao segundo. Simbolicamente temos:

A-B = {x |  x ∈ A e x ∉ B}

e

B-A =  {x |  x ∉ A e x ∈ B}

Observações:

1) Se considerarmos um conjunto A qualquer e o conjunto vazio ∅ teremos:

A - ∅ = A

e

∅ - A = ∅

2) Se ocorrer que um conjunto B é um sub-conjunto de outro A, então o conjunto diferença A - B é chamado complementar de B em relação a A e é simbolizado por ∁ AB. 

Exemplo:

    A = {1; 2; 3; 4; 5}

    B = {2; 4}

    ∁ AB = A - B = {1; 3; 5}

Exercícios

1) Dado os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6} determine:

a) L = A U B 

b) M = A ∩ B 

c) N = A – B 

d) O = B – A 

2) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Respostas:

1)

a) A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

b) A ∩ B = {2, 3} 

c) A - B = {1} 

d) B - A = {4, 5, 6} 

2)

Temos que 90 alunos acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 90 = 170 acertaram apenas a segunda questão. Se 470 acertaram somente uma das questões e 170 acertaram apenas a segunda, segue que, 470 - 170 = 300 acertaram somente a primeira.Mas 210 erraram a primeira e incluindo os 170 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 170 = 40 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1∩P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 300 + 90 + 170 + 40 = 600.